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2013年12月29日  四角錐の体積はなぜ四角柱の1/3なのか?

数学・物理

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  先日、小学6年生に算数を教えていて四角錐、つまり底面が四角形で先がとんがっている上の図のような形の体積はなぜ底面×高さ×1/3なのかを教えようと四角柱を描いて補助線を引いて3つの四角錐に分解しようとしていたら思いのほか悪戦苦闘、30分経ってしまって見かねた生徒が教科書を持ってきた。教科書には四角柱の模型に水を入れてそれが四角錐3杯分になるという説明があったのだが僕はいや、こんなもの説明になっていないと思い苦し紛れに「積分使えば簡単なんだけどねえ」などと言ってみたものの生徒に哀れな目でみつめられてしまった。

 そこで調べてみると四角柱を分解して3つの四角錐を作るという説明があった。

 以下に引用する。

1つの立方体〔体積 1〕を分解すると、3つの四角錐(同形同大)ができる。
この結果、ひとつの四角錐の体積は、もとの立方体の体積の/、すなわち〔体積/〕であることがわかる。

〔図1〕

まず、立方体を、三角柱(1、2)に切りわける。

.つぎに、三角柱(1)を、四角錐(1)と三角錐(1)に切り分ける。また、三角柱(2)を、三角錐(2)と四角錐(2)に切り分ける。
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〔図2〕

 

  三角錐(1)と三角錐(2)は、切断面を貼り合わて、ひとつにする。これにより、四角錐(3)ができる。

詳しくは四角錐の体積 をご覧ください。

 これなら説明になっているというものだ。なぜ小学校の教科書は子供騙しのような実験でごまかしているのだろう。

 積分を使うと下のように高校の定積分で簡単だけどやはりこれもなんか狐に騙されたみたいですね。ちなみに以下のは底面が半径1、高さも1の円錐の場合です。

 

 

 

 

 

 僕はやはり四角錐を分解するほうが感覚的にわかって好きです。

 解析と幾何、数式と図形の違いですかね。